Xср = ? F • X I / n,

где Xi - групповая варианта.

Значит Xср = 6500 / 304 = 21,38 см.

2) Сумма квадратов отклонений

СКО = ?(F • Xi2) - (?(F • X i))2 / n.

Тогда СКО = 159280 - 42250000 / 304 = 159280 - 138980 = 20300 см 2.

II 1) Средняя величина

Xср = A + (?(F * Xй) / n) • C.

Отсюда Xср = 24 + (- 199 / 304) • 4 = 24 + (- 0,6546) • 4 = 24 - 2,6184 = 21,38 см.

Xср1 = Xср2 = 21,38 см. X1 = Xi - A / C.

2) Сумма квадратов отклонений

СКО = ( ?(F • X12) - (?(F • Xй ) 2 / n ) • C2 .

Отсюда получаем СКО = (1399 - (39601 / 304 )) • 16 = (1399 - 130,2664) • 16 = 20299,74 = 20300 см 2.

3) Дисперсия

д 2 = СКО / n - 1.

Находим д 2 = 20300 / 303 = 66,78 см 2.

4) Рассчитываем стандартное отклонение - основной показатель вариации, характеризующий варьирование значений признака вокруг центра распределения:

д = v д 2 .

Тогда д = v 66,78 = 8,172 см.

5) Вычислим коэффициент вариации - показатель изменчивости признака. Он определяется как

Cv = д • 100%/ Xср.

Имеем Cv = 8,172 / 21,38 • 100 = 38,22 %.

По шкале Мамаева (см. таблица 2) для установления уровня изменчивости признака определяем, что уровень изменчивости в данном случае высокий.

6) Находим коэффициент дифференциации, характеризующий изменчивость признака. Он определяется как

Vд = д • 100 % / (Xср - X0) + C/2,

где X0 - значение первого класса ряда распределения. В нашем случае X0 = 2 см.

Тогда Vд = 8,172 • 100 / (21,38 - 2) + 2 = 44, 17 %.

Степень дифференциации признака определим с помощью таблицы 3, из которой следует, что эта степень значительная, т.к. ее коэффициент находится в интервале 39 - 53 %.

7) Расчет ошибок репрезентативности.

Ошибка средней величины вычисляется по формуле:

m x = + д / vn .

В нашем случае: mx = + 8,172 / v304 =+ 8,172 / 17,44 =+ 0,47 см.

Ошибка стандартного отклонения:

m д = + д / v2n .

Значит m д = + 8,172 / v2 • 304 = + 8,172 / 24,66 =+ 0,331 см.

Ошибка коэффициента вариации:

m c = + Cv / vn • v0,5 + (Cv/100)2.

Тогда m c = + 38,22 / 17,44 • v0,5 + (38,22/100) 2 = + 2,192 • 0,804 =+ 1,762 %.

Ошибка точности:

m p = + m c / vn .

Отсюда m p = + 1,762 / 17,44 = + 0,101 %.

8) Находим точность определения средней величины

p = + (m x / Xср) • 100 %.

Отсюда p = + (0,47 / 21,38) • 100 = + 2,2 %.

Данный показатель позволяет сделать заключение о достоверности эмпирических данных для получения достоверных результатов.

9) Достоверность статистических показателей (надежность)

Достоверность - отношение величины статистического показателя к его ошибке репрезентативности. Это отношение должно быть ? 3, определяется по t - критерию.

Достоверность средней величины: tx = Xср / mx .

Значит tx = 21,38 / 0,47 = 45,49.

Достоверность стандартного отклонения: tд = д / mд .

Тогда tд = 8,172 / 0,331 = 24,69.

Достоверность коэффициента вариации: tc = Cv / mc .

Имеем tc = 38,22 / 1,762 = 21,69.

Достоверность точности: tp = p / mp .

Получаем tp = 2,2 / 0,101 = 21,78.

Все статистические показатели достоверны, т. к. их отношение к ошибкам репрезентативности больше 3 во всех случаях

10) Доверительный интервал для генеральной средней

ДИГС - интервал нахождения средней величины для всей генеральной совокупности.

ДИГС = Xср + mx • t0,5 ,

где t0,5 - критерий Стьюдента на 5% уровне значимости, определяется по числу степеней свободы (см. приложение).

Число степеней свободы - число свободно варьирующих вариант (v)

v = n - 1 = 304 - 1 =303 t0,5 = 1,96

Находим ДИГС = 21,38 + 0,47 • 1,96 = 21,38 + 0,92; ДИГС 20,46 ? 22,3 см.

Чем меньше расстояние между точками интервала, тем точнее выборочная совокупность характеризует генеральные параметры. В нашем случае интервал несколько завышен.

11) Необходимое число наблюдений для будущих исследований

n = ((Cv • K)/p)2,

где Cv - расчетный коэффициент вариации;

p - заданная точность (3 %);

К - коэффициент порогового уровня доверительной вероятности (К1 =1; К2 = 1,98; К3 =2,63) .

n1 = (38,22 • 1 / 3)2 = 162 штуки.

n2 = (38,22 • 1,98 / 3)2 = 636 штук.

n3 = (38,22 • 2,63 / 3)2 = 1123 штуки.

Статистическое заключение

В результате анализа большой выборочной совокупности в виде измерения объема деревьев получили следующие статистические показатели с их ошибками репрезентативности:

- средняя величина 21,38 + 0,47 см;

- стандартное отклонение 8,172 + 0,331 см;

- коэффициент вариации 38,22 + 1,762 %, которому по шкале Мамаева соответствует повышенный уровень изменчивости;

- коэффициент дифференциации 44,17 %, которому по классификации соответствует значительная степень дифференциации.

Точность определения средней величины 2,2 + 0,101 %.

Доверительный интервал генеральной средней 20,46 - 22,3 см.

Необходимое число наблюдений для будущих исследований, которое бы обеспечивало заданную точность 3 % при известном коэффициенте вариации 38,22 % и трех пороговых уровнях доверительной вероятности следующее:

- для первого порогового уровня 162 штуки;

- для второго порогового уровня 636 штук;

- для третьего порогового уровня 1123 штук.

Графическое представление вариационного ряда

После того как произведена группировка совокупности по классам, характер распределения более или менее проясняется. Однако более наглядное представление этого распределения дает графическое изображение.

Графическое представление вариационного ряда с использованием Microsoft Excel

Задание 3. Расчет среднеквадратических ошибок

При проведении полевого и других опытов проявляются три вида ошибок. Ошибка - это расхождение между различными значениями выборочной совокупности или отдельных наблюдений от истинных значений измеряемых величин.

Основные свойства ошибок и причины их возникновения

Случайные (среднеквадратические ошибки) - это ошибки, возникающие под воздействием факторов, действие которых не значительно и их нельзя выделить и учесть отдельно. Случайные ошибки в полевом опыте неизбежны. Математическая статистика дает методы их определения.

Систематические - искажают измеряемую величину в сторону преувеличения или преуменьшения в результате действия вполне определенной постоянной причины. Исключить действие этой причины можно путем применения правильной методики.

Случайные ошибки имеют знак +. Они взаимопогашаются, а систематические нет.

Грубые (промахи) - возникают в результате нарушения основных требований полевого опыта. Грубые ошибки не погашаются, а результат бракуется.

Для математической обработки подходят лишь результаты наблюдений без систематических и грубых ошибок.

Таблица 6.

Расчет среднеквадратических ошибок.

Страницы: 1, 2, 3, 4