5.4.2. Способы получения случайных чисел с заданным законом

распределением

Основным соотношением, связывающим случайные числа Si, имеющие

заданный закон распределения f(x), и числа Ri, равномерно распределенные на

интервале [0,1], является:

[pic]

Доказательство справедливости этого соотношения следует из того факта,

что

[pic]

где F(() - интегральная функция распределения вероятностей,

являющаяся однозначной функцией своего аргумента.

При этом F( () изменяется от 0 до 1 при изменении ( от - ( до + (.

Таким образом, для аргумента, лежащего в интервале

- ( < ( < + (, функция 0 < F(() < 1, что соответствует числам

последовательности, равномерно распределенным на интервале [0,1].

Возвращаясь к исходному выражению

[pic]

заметим, что для получения числа, принадлежащего совокупности {Si},

имеющей плотность распределения f(x), необходимо приведенное уравнение

разрешить относительно Si .

Пусть, например, требуется получить случайные числа с экспоненциальным

законом распределения

[pic]

В силу приведенного соотношения преобразования имеем

[pic]

Интегрируя, получим

[pic]

Отсюда

[pic]

Понятно, что генерация равномерной последовательности значений в

интервале [0,1] и подстановка их в полученное выражение обеспечивает

генерацию случайной последовательности с экспоненциальным законом

распределения вероятностей.

При попытке преобразования равномерного распределения в заданное

может оказаться, что разрешить уравнение

[pic]

относительно Si, как это проделано в примере, весьма трудно. Это

случается, например, когда интеграл от f(x) не выражается через

элементарные функции или когда плотность f(x) задана только графически.

В такой ситуации для преобразования используется метод Неймана.

Условия для его реализации:

случайная величина x может быть определена на интервале [a,b];

плотность распределения вероятностей f(x) на интервале [a,b]

ограничена f(x) <= Mo.

Разыгрывание (генерация) значений x, распределенных с плотностью

вероятностей f(x), осуществляется следующим образом:

1)Генерируем два случайных значения R1 и R2 величины равномерно

распределенной на интервале [0,1] и получаем случайную точку на графике

f(x) с координатами

x’ = a + R1*(b - a)

y’ = R2* Mo

y

Mo

y’ Г

a x’

b x

Рис.5.4.1.

2)Если полученная точка лежит под кривой y = f(x), то полагаем, что

первое значение случайной величины, соответствующей плотности

распределения вероятностей f(x) равно

x1 = a + R1*(b - a) = x’

Если же полученная точка лежит над кривой y =f(x), то пара случайных

чисел R1 и R2 отбрасывается, выбирается новая R3 и R4 и операции пп.1,2

повторяются.

Случайные числа xi, полученные таким образом, имеют плотность

распределения вероятностей f(x).

Получение случайных величин, плотность вероятностей которых -

нормальный закон, имеет свои особенности.

Основное уравнение преобразования в этом случае имеет следующий вид:

[pic]

В явном виде оно неразрешимо. Поэтому приходится использовать

другой путь. Так согласно центральной предельной теореме теории

вероятностей известно, что нормальный закон распределения возникает во

всех ситуациях, когда случайная величина может быть представлена в виде

суммы достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых)

элементарных слагаемых, каждое из которых в отдельности мало влияет на

сумму. Это дает возможность приближенно моделировать нормальную плотность

распределения вероятностей суммированием чисел, равномерно распределенных

на интервале [0,1]:

( = (1 + (2 + .....+ ((

Эта сумма асимптотически нормальна с МО [pic] и с СКО [pic]

Но для равномерной плотности распределения

[pic] , [pic]

Значит

[pic] , [pic]

Тогда, если i-ое значение нормальной случайной величины (

соответствует i-му эксперименту суммирования n равномерно распределенных

чисел, то

(i = (i1 + (i2 + .....+ (i(

Значит, получение нормально распределенной последовательности {Si} с

математическим ожиданием mз и СКО - (з осуществимо путем нормирования и

перемасштабирования последовательности {(i}, то есть, приведения ее к

заданным числовым характеристикам:

[pic]

Л Е К Ц И Я 5.5

Модель системы распознавания образов

Теперь после изложения общих представлений о моделировании вообще

можно перейти к построению моделей конкретных систем - систем

распознавания образов. Поэтому начнем с того, что определим в первом

приближении цель моделирования систем распознавания.

Цель компьютерного моделирования систем распознавания - их

исследовательские испытания для оценки эффективности распознавания в

приемлемые сроки и во всем факторном пространстве представления объектов

(явлений, процессов) и возможностей измерителей их характеристик.

Можно было бы предположить, что такое определение касается только

сложных СР, в состав которых входят многочисленные и разнородные

средства измерений или на информационной основе которых строятся сами

системы распознавания. Для таких систем не вызывает сомнения необходимость

применения опытно-теоретического метода испытаний. Поэтому для них и

должна идти речь о сроках и факторном пространстве применения СР. То

есть, к компьютерному моделированию прибегают чаще всего постольку,

поскольку не могут в приемлемое время провести натурные испытания СР во

всем факторном пространстве поведения объектов (явлений, процессов) и

измерителей их характеристик.

И далее, казалось бы, что системы распознавания, для которых натурные

испытания достаточно дешевы, а способы моделирования входных воздействий

достаточно сложны и неясны, не следует вообще и моделировать. Кажется, что

все можно получить в эксперименте.

Если задаться целью, то можно найти настолько простые системы.

Однако в большинстве случаев кажущаяся простота и дешевизна натурных

экспериментов (испытаний) при неопределенности методов построения моделей

входных воздействий скрывает от испытателя характеристики факторного

пространства состояния и поведения объектов распознавания. При этом не

удается определить фактическую эффективность, а оцененное значение ее

только успокаивает (“ведь оценка получена!”), так как, к сожалению,

характеризует только какую-то неопределенную часть факторного пространства,

о которой могут быть лишь качественные суждения, а чаще всего и ошибочные.

Поэтому независимо ни от чего попытка разработки изоморфной модели

уже ведет к получению дополнительной информации для создания более

эффективных систем или для четкого определения области применения созданной

системы распознавания.

Отказ от этого подхода приводит к тому, что легко реализуемые

экспериментальные применения системы часто не позволяют объяснить причины

неожиданно появляющихся отрицательных результатов. И только более полный

анализ поведения объектов (явлений, процессов) распознавания, измерителей

их характеристик и сопутствующих искажений (что входит в задачи создания

соответствующих моделей) выводит из тупиковой ситуации, если, конечно,

она расценена как тупиковая.

Решение задач построения компьютерных моделей систем распознавания

образов основывается на

-понимании принципов классификации и структуры систем распознавания;

-способов описания классов на языке словаря признаков;

-подходов к формализации показателей эффективности распознавания.

Начиная с декомпозиции, как одного из важнейших принципов построения

моделей, можно заметить, что блочный состав моделей систем распознавания

грубо уже определяют их схемы, рассмотренные при изучении принципов

классификации. Поэтому модель СР первого приближения должна включать

следующие основные элементы:

-распознаваемый объект (явление, процесс);

-технические средства (средства измерений);

-многоуровневая (в общем случае) система обработки измерений;

-алгоритм классификации.

Ну, а так как моделирование систем распознавания, как это было

сформулировано выше, преследует целью проведение испытаний и получение

оценки выполнения ими задач - эффективности -, то последним венчающим

модель элементом в перечисленный состав должен быть включен блок оценки

этого показателя (эффективности).

Рассмотрим более подробно все перечисленные элементы модели,

стремясь к их детализации и определению принципов компьютерной реализации

во взаимодействии друг с другом.

5.5.1. Моделирование распознаваемого объекта

Сложность модели распознаваемого объекта (явления, процесса)

определяется полностью степенью физико-химической сложности его самого,

условий его наблюдения и степенью доступности необходимых измерений.

Исходя из определения назначения системы распознавания ,- получение

информации, необходимой для принятия решения о принадлежности неизвестного

объекта (явления, процесса) к тому или иному классу ,- ничего другого не

остается, как получить по возможности всю информацию, имеющую отношение

к его распознаванию. Незнание или плохое знание описания объекта во всем

диапазоне интересующих сторон, свойств, характеристик, факторов поведения

не дает оснований надеяться на эффективность получаемых решений.

Заметим, что соответствующая задача (получение всей информации) не

противоречит самой первой задаче, с которой начинается создание СР, -

определение полного перечня признаков распознавания.

Говоря слова “модель объекта” (а равно “модель явления”, “модель

процесса”) условимся, что при этом будем иметь в виду “модель объектов

распознавания”, которые могут относиться к различным классам. Но так как

в системе в каждом акте ее применения всегда имеют дело с одним

неизвестным объектом, подлежащим распознаванию, а также имея в виду, что

принципы моделирования всех объектов данной СР одинаковы (различны лишь

характеристики), чаще всего используется термин “модель объекта

распознавания”.

Исходя из этого определим модель объекта как цифровой имитатор

совокупности его свойств, характеристик и состояний. Заметим, что, на

первый взгляд, число моделируемых (имитируемых) свойств, характеристик и

состояний объекта равно размерности словаря признаков распознавания. Так

действительно, если в СР используется один простой признак

распознавания, то и моделью соответствующего объекта должно имитироваться

поведение этой одной характеристики, одного свойства, одного состояния

объекта. Точно также, если СР использует несколько простых признаков, то

имитатор объекта должен обеспечивать получение такого же количества

характеристик (свойств, состояний) каждого моделируемого объекта. Однако

если признак распознавания один, но комбинированный, то цифровой имитатор

соответствующего объекта должен выдавать системе столько и таких его

характеристик (свойств, состояний), сколько и каких используется для

расчета этого комбинированного признака во многоуровневой системе. То

есть, размерность вектора имитируемых свойств может быть больше или равна

размерности вектора признаков распознавания.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19